Beck
backrezepte

Matheaufgabe zum Knobeln?

Mit einem Zaun der Länge l soll eine rechteckige Weide abgesteckt werden. Dabei muss noch so viel Zaun übrig bleiben, dass mit Hilfe dieses Restes die Weide in zwei gleich grosse Rechtecke geteilt werden kann. Wie muss man die Abmessungen wählen, damit die Fläche der Weide möglichst gross wird?

4 Responses to Matheaufgabe zum Knobeln?

  • Die größte Fläche erreichst du mit einem Quadrat. Da ein Quadrat auch ein Rechteck ist kannst du eventuell zwei gleichgroße Quadrate abstecken, und somit hast du das ideale Rechteck.
    Gruß
    Franky

  • Die gesamte Fläche soll aus zwei gleich großen rechteckigen Flächen A(1) und A(2) bestehen.
    Dann gilt A = A(1) + A(2) = 2 A(1)
    A(1) habe die Seitenlängen a und b
    Dann gilt:
    A = 2ab
    Der Zaun l soll zum Abtrennen benutzt werden.
    Dann gilt: l = 4a + 3b
    Also soll
    (1) A = 2ab maximal werden
    (2) l = 4a + 3b (mit l = const)
    Aus (2) folgt:
    l = 4a + 3b
    4a = l – 3b
    a = (l – 3b) / 4
    Dann erhalte ich A als einstellige Funktion von b:
    A(b) = 2(l – 3b)/4 * b
    A(b) = (l – 3b)b / 2
    A(b) = 1/2 ( lb – 3b²)
    Die Grenzen des Intervalls sind dabei.
    b = l/3 und b = 0
    In beiden Fällen wäre der Flächeninhalt der Weide gleich Null, also das minimum.
    Das maximum muss also im Innern des Intervalls liegen.
    Es ist eine Funktion zweiten Grades; diese hat genau eine Stelle, an der die erste Aböeitung verschwindet. Nur diese kommt für das Vorliegen des globalen maximums in Frage:
    A’ (b) = 1/2 ( l – 6b)
    Die erste Ableitung verschwindet für
    l = 6b
    b = l/6
    Das effektivste b wäre also
    b = 1/6 l
    Dann wird a = 1/8 l
    Die optimale Fläche ergibt sich für die Maße:
    b = 1/6 l und 2a = 1/4 l
    A(max) = 1/6 l * 1/4 l = 1/24 l

  • Die maximale Fläche, bei minimalstem Umfang bietet bei rechteckiger Form, das Quadrat.
    Somit muß die Weide so abgesteckt werden, daß zwei gleichgroße Quadrate entstehen:
    Zwei jeweils parallele und gleich lange Seitenstücke und zwei gleich lange und parallele, senkrecht zu den Seitenstücken stehende Randstücke und das Mittelstück, parallel zu den Randstücken und selbstverständlich auch gleich lang.
    Somit ist die Länge aller Stücke immer l/7.

  • Da muss man nicht knobeln – das ist eine Minimaxaufgabe:
    Hauptbedingung: A = a*b
    Nebenbedingung: 3a + 2b = l (l ist dabei Formvariable)
    NB umgeformt: b = 0,5 l – 1,5 a
    einsetzen in HB: A = a * (0,5 l – 1,5 a) = 0,5 al – 1,5 a²
    ableiten und 0-Setzen: 0 = 0,5 l – 3a oder a = 1/6 l und b = 1/4 l
    ergibt Fläche von A = 1/24 l²
    Zu den Antworten, die meinen, es wären zwei Quadrate mit jeweils einer Seitenlänge von l/7: die Fläche wäre dann:
    2*(l/7)² = 2/49 l², das ist aber kleiner als 1/24 l² = 2/48 l², da von zwei Bruchzahlen mit identischem Zähler (jeweils 2), aber unterschiedlichem Nenner diejenige größer ist, deren Nenner kleiner ist (nach dem Motto: eine Torte durch 5 teilen gibt größere Stücke als sie durch 7 zu teilen)

lecker-backen
Tipps & Infos zur Partnersuche: Chats, Flirten & Freunde treffen!

Kontaktbörse für Singles und Kontakte aus deiner Region.

Wir verbinden Menschen.